全 n 種類が均等に出るガチャを、1種ずつ全部そろえるには、平均で何回引く必要があるでしょうか。 最初は順調でも、最後の1〜2種がなかなか出ません。実際に引いて確かめてみてください。
まだ持っていない種類が k 種あるとき、次の1回で「新しい1種」を引ける確率は k/n です。だから新しい1種が出るまでの平均回数は n/k 回。これを k = n, n−1, …, 1 まで足し合わせます。
カッコの中は「調和数」と呼ばれ、n が大きいとほぼ log n + 0.577 になります。最後の1種を引くだけで平均 n 回かかるので、コンプ間際がいちばん大変、というわけです。たとえば 10種で平均約29.3回、20種で約72回、30種で約120回です。
「クーポンコレクター問題（coupon collector's problem）」と呼ばれます。古くは アブラーム・ド・モアブル（1700年代初頭）にさかのぼり、20世紀に エルデシュとレーニイらが厳密な結果を与えました。参考：Coupon collector's problem（英語版ウィキペディア）。